О здравом смысле и математике

В 1959 году Мартин Гарднер задал вопрос: “У мистера Смита двое детей. Хотя бы один ребёнок — мальчик. Какова вероятность того, что оба ребёнка мальчики?”. Интуитивно многие люди рассуждают так: вероятность рождения мальчика или девочки примерно равны (в уточнениях к задаче об этом обычно говорится), пол одного ребенка не зависит от пола второго ребенка, информации о том, что оба ребенка однояйцовые близнецы, нет, да и о чем спрашивать в таком случае, т.е. вероятность, что второй ребенок – тоже мальчик 50%, что дает нам 50% вероятность, что оба ребенка мальчики.

Но сам Гарднер и другие математики после него предлагают рассмотреть ситуацию чуть иначе. Коли у нас имеется семья из двух детей, то мы имеем всего четыре пары детей:

2 children variations

Поскольку по условию задачи один из детей мальчик, то вариант с двумя девочками исключается, что оставляет нас с тремя вариантами. Оба мальчика – это один из трех вариантов с вероятностью, равной каждому из оставшихся сценариев, что дает нам ответ в 33.33% вероятности.

Есть и чуть более сложная версия задачи: “У мистера Смита двое детей, один из которых – сын, рожденный во вторник. Какова вероятность того, что у мистера Смита – два мальчика?”

Для ее решения предлагается рассмотреть все возможные варианты рождения детей при такой же вероятностной раскладке детей по каждому дню, как на приведенной выше схеме, но если не получается соответствие условию – сын, рожденный во вторник, – то вариант делается совсем блеклым и в подсчетах он не учитывается:

Tuesday boy

Если подсчитать все пары детей, то оба мальчика будут в 13 из 27 вариантов, т.е. вероятность 13/27.

Неправда-ли, несколько странно, что вероятность пола ребенка зависит от дня недели, когда он родился? Да и объяснение первой задачи оставляет несколько странное ощущение…

Итак, давайте вернемся к первой задаче. Вы знаете, что у Смита двое детей, однажды встречаете его на улице с мальчиком: “Это – Джонни, мой сын”. Или в разговоре с Вами Смит упоминает своего сына, или некий общий знакомый Джонс упоминает сына Смита.
Логика и базовые знания биологии заставляют предположить пол второго ребенка как с вероятностью 1/2 мужской и 1/2 женский. Однако Вы же прочитали объяснения выше и против трех равновероятных сценариев (мальчик-девочка, девочка-мальчик и мальчик-мальчик) возразить нечего.

Но это ловушка. Давайте посмотрим на обведенные на самой верхней схеме три сценария. Что-то интересное заметили? Давайте подсчитаем, сколько там всего мальчиков. Четыре. Сколько мальчиков имеют сестер? Двое. То есть шанс каждого увиденного Вами сына мистера Смитом иметь брата точно такой же, как и иметь сестру, т.е. в половине случаев оба ребенка будут мальчиками.
В чем была ловушка? В том, что шанс увидеть рядом со Смитом сына из пары в два мальчика вдвое выше, чем в случае наличия сына и дочери.

То есть здравый смысл и биологию выбрасывать на помойку совсем не надо 🙂

Теперь давайте перейдем ко второй задачке. Если Вы посмотрите на предлагаемую выше схему, то обнаружите достаточно четкую логику: в колонке “Вторник” каждый день имеет 2 подходящих сценария с (младшим) сыном, рожденным во вторник – дочь и сын и оба сына, тогда как в ряду “вторник” на каждый день недели тоже есть два подходящих варианта (старший) сын и дочь и два сына. То есть вероятность появления двух сыновей, рожденных во вторник, вдвое выше вероятности двух сыновей, когда один рожден во вторник, а второй – в любой другой день недели. Подчеркну – в заданных задачей рамках.

Так что у нас 28 вариантов всего, из коих в 14 оба мальчика, т.е. вероятность двух мальчиков, если хотя бы один из них рожден во вторник, нормальные 50%.

Секундочку, скажет внимательный читатель, но ведь в задаче говорится об одном рожденном во вторник сыне, а нам предлагают двух! Как только мы исключаем вариант двух рожденных во вторник сыновей, мы остаемся с вероятностью 12/26 (46%). Да, ниже 50%, но из-за ограничивающего условия, чтобы только один из них был рожден во вторник.

Из вышесказанного ни в коей мере не следует, что математика лжет, заводит не туда или не может применяться в жизни. Математика по сути язык, который, увы, не всегда точно соответствует тем языкам, кои мы используем в разговоре. Когда задача не совсем точно сформулирована, допускает разные истолкования, ее перевод на язык математики будет столь же ущербным и странным, как попытка перевести идиомы, не зная их точного значения, но опираясь только на основной перевод значения каждого из входящих в идиому слов.
Например, если переводить “give up” как “давать + вверх”, смысла в предложении не будет совсем, т.к. значение идиомы – “оставить”, “отказаться”, “уступить”, “бросить”, – и близко не похоже на буквальный перевод.

Не в математике проблема, а в жаждущих найти якобы научное объяснение, но по сути уподобляющихся профессору лингвистики из анекдота, который на конференции рассказал о племени, чей язык состоит из одного слова. Профессор указывал на разные предметы и неизменно получал один ответ: “тыящегв”. Весь конференцзал встает и дико аплодирует. После чего просит слова один старичок, который говорит, что однажды проходил через деревню племени и согласно его записям “тыящегв” означает всего-лишь палец.

This entry was posted in Uncategorized and tagged . Bookmark the permalink.

2 Responses to О здравом смысле и математике

  1. _dna says:

    во второй пример влезать не стал, а первый сразу вызвал подозрение тем что варианты мальчик-девочка и девочка-мальчик считаются за два разных события хотя это одно и тоже. Поэтому и вероятность падает до 33%

    • khvostik says:

      конечно, их полагают за два разных варианта: старшая девочка и младший мальчик, а в другом случае – старший мальчик и младшая девочка. но когда мы видим или узнаем про одного ребенка (мальчика), мы не знаем ничего о возрасте и поле второго ребенка. когда мы видим мальчика на улице или фото, то у нас есть следующие варианты:
      – у него есть старшая сестра;
      – младшая сестра;
      – старший брат;
      – младший брат.
      вероятность каждого события одинакова. потому мы остаемся с 50% 🙂

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s